Так как лен относится именно к такому типу тканей, ответ объединяю в один.
Минимально возможно количество влаги и очень быстрое принудительное высушивание. Иметь под рукой мочалку или щетку и сильно пенный раствор в банальном тазике, чтобы как только становятся заметными граница между сухим и сокрым, сразу протирать эту границу пеной и высасывать экстрактором. Еще можно протирать эту границу толстой салфеткой смоченой раствором воды и спирта.
Но лучше не допускать появления таких разводов. Для этого очень тщательно пылесосить и использовать пеноэкстрактор. Я научился чистить такую мебель именно САБРИНОЙ ФОАМ. С обычным экстрактором гораздо дольше и хлопотней.
Судя по разводам на фото это банальное перемачивание и медленное высушивание. Те самые танины о которых я много говорю на своих семинарах. И ткани и близлежащие материалы состоят из растительных компонентов, а растения содержат натуральный краситель "танин". При длительном намокании танин выделяется и засызает на кончиках ворса или на грнице сухой-мокрый в виде коричневых, иногда темно-оранжевых четких линий, с более слабыми цвету контурами в сторону "мокрого". Поэтому больше всего их в районе складок, глубоких изгибов и в нижней части спинок и подлокотников, что опять -таки, четко иллюстрируют ваши фотографии.
Наличие таких разводов на передней или боковой части сидушки, говорит о том, что вы чистку производили стоя к этому краю и двигая насадку на себя. Вот и получили возле края самое мокрое место. Поэтому в середине сидушки или спинки таких раводов нет, потому что по серединке волей-неволей проводишь несколько раз, а по краю раз-два. В идеале, в конце, от края нужно делать обратное движение, в сторону центра.
Кстати, перхлорэтилен такие разводы уже не уберет.
И еще, вам очень повезло, что ткань не полиняла, так как на такого рода мебели это очень возможно.

Ну вот, теперь можно и на семинар по чистке мебели не ходить. 

На фото мебель с обивкой из джута, льна и шерсти. Жесть!

В данном случае использовать "сухую пену" через пеногенератор. Есть некоторые типы ткани, которые действительно ни в коем случае нельзя мочить. Возможных проблем несколько: линька (особенно синий цвет), усадка (для мебели это не очень страшно, так как она натянута на каркас и только сильней натяжка будет) и РАЗВОДЫ. Самы простой тест на "волшебную слюну" - намочить слюной палец и приложить в малозаметном месте. Если через 5 минут пятно заметно - мочить такую ткань нельзя. Если техникой чистить, то только УЛЬТИМАТ + Формула 801. Если Ультимата нет, то альбертианжеловский "Универсальный Пятновыводитель в Спрее" о котором я много писал. Есть еще у ПРОКЕМ средство ДРАЙ КЛИН, но у меня по нему мало опыта было и противоречивые мнения.
Но если на такой мебели уже есть разводы от неправильной чистки, случайного намачивания или водные пятна (соки, вино, кофе и т.д.) то "сухая чистка" (перхлорэтилен) ни Ультиматом ни Альберти Анжело не помогут. Только влажная чистка. Или очень умелый специалист с экстрактором, или "сухая пена". Но в любом случае это долго и муторно, и делать должен человек уже обладающий опытом